Nombres complexes - Exercice 05

Terminale S

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

On prendra 2cm pour unité graphique

A est le point d’affixe i et B le point d’affixe 2.

1. a) Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et de rapport \sqr{2}.

b) Déterminer l’affixe du point B’ image de B1 par la rotation de centre A et d’angle \frac{\pi}{4}. Placer les points A, B et B’.

2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’afffixe z, associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z'=(1+i)z+1

a) Montrer que B a pour image B’ par f.

b) Montrer que A est le seul point invariant par f.

c) Etablir que, pour tout nombre complexe z distinct dei, on a : \frac{z'-i}{i-z}=-i Interpréter le résultat obtenu en terme de distance puis en terme d’angles. En déduire une méthode de construction de M’ à partir de M, pour M distinct de A.

3. a) Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble \sum1 des points M du plan dont l’affixe z vérifie : \|z-2|=\sqr{2}.

b) Démontrer que z'-3-2i=(1+i)(z-2). En déduire que si le point M appartient à \sum1 alors son image M’ par f appartient à un cercle \sum2 dont on précisera le centre et le rayon.

c) Tracer \sum1 et \sum2 sur la même figure quee A, B et B’.

Un corrigé de l’exercice est proposé sur le site de Sésabac au format flash. Attention, il faut commencer par lire les rappels de cours et les indications.



auteur de cet article : M. Descroix

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