Nombres complexes 06

Amérique du Sud, 2006

Exercice 2 (Amérique du Sud, 2006)
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \left ( \textrm{O}, { \overrightarrow { {u} \, \, }}, { \overrightarrow { {v} \, \, }} \right ). On prendra pour unité graphique 1 cm.

  1. Question de cours
    On rappelle que : Pour tout vecteur { \overrightarrow {{w} \, \, }} non nul, d’affixe z on a : \textrm{|}z\textrm{|}= \vec {{w}} et arg \left( z\right) = \left ( { \overrightarrow { {u} \, \, }}, { \overrightarrow { {w} \, \, }} \right ) .
    Soient M, N et P trois points du plan, d’affixes respectives m, n et p tels que m \neq n et m \neq p.
    1. Démontrer que : arg \left ({{\frac{p - m}{n - m}}} \right ) = \left ( { \overrightarrow { {MN} \, \, }}, { \overrightarrow { {MP} \, \, }} \right ).
    2. Interpréter géométriquement le nombre \left lline {{\frac{p - m}{n - m}}} \right rline
  2. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives z_{ \textrm{A}} = 4 + \textrm{i}, \ z_{ \textrm{B}} = 1+ \textrm{i}, \ z_{ \textrm{C}} = 5 \textrm{i} \textrm{et} z_{ \textrm{D}} = -3 - \textrm{i}.Placer ces points sur une figure.
  3. Soit f l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M' d’affixe z' telque : z' = \left( 1 +2 \textrm{i}\right) z - 2 -4 \textrm{i}.
    1. Préciser les images des points A et B par f.
    2. Montrer que f admet un unique point invariant \Omega , dont on précisera l’affixe \omega .
    1. Montrer que pour tout nombre complexe z, on a :z'-z = -2 \textrm{i}\left( 2 - \textrm{i} - z\right) . déduire, pour tout point M différent du point \Omega , la valeur de {alignc{\frac{MM'}{ \Omega M}}}et une mesure en radians de l’angle \left ( { \overrightarrow { {M \Omega } \, \, }}, { \overrightarrow { {MM'} \, \, }} \right )
    2. Quelle est la nature du triangle \Omega MM' ?
    3. Soit E le point d’affixe z_{ \textrm{E}} = - 1 - \textrm{i} \sqrt[{}]{3} . écrire z_{ \textrm{E}} sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E\prime associé au point E.


auteur de cet article : M. Descroix

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