Nombres complexes 05

D’après Nouvelle-Calédonie 2006

Exercice 2 5 points

Les parties A et B sont indépendantes
On considère l’équation (E) z^{3} - \left( 4 + \textrm{i}\right) z^{2} + \left( 7 + \textrm{i}\right) z - 4 = 0

où z désigne un nombre complexe.

Partie A

  1. Montrer que (E) admet une solution réelle, note z_{1}.
  2. Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexe z on ait :z^{3} - \left( 4 + \textrm{i}\right) z^{2} + \left( 7 + \textrm{i}\right) z - 4 = \left (z - z_{1} \right )\left( z - 2 - 2 \textrm{i}\right) \left( az + b\right)
  1. Résoudre (E).

Partie B
Dans le plan muni dun repère orthonormal direct \left ( \textrm{O}, { \overrightarrow { {u} \, \, }}, { \overrightarrow { {v} \, \, }} \right ), on considère les trois points A, B et Cd’affixes respectives 1, 2 + 2 \textrm{i} et 1 - \textrm{i}.

  1. Représenter A, B et C.
  2. Déterminer le module et un argument de {\frac{2 + 2 \textrm{i}}{1 - \textrm{i}}}. En déduire la nature du triangle OBC.
  3. Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC ? Justifter votre affirmation.
  4. Soit D l’image de O par la rotation d’angle - {\frac{ \pi }{2}}et de centre C. Déterminer l’affixe de D.


auteur de cet article : M. Descroix

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