Ensembles de nombres.

(corrigé)

Pour chaque phrase suivante, dites si elle est vraie ou fausse et justifiez soigneusement (avec calcul si nécessaire).

  1. \frac{1}{7} appartient à \mathbb{N}.
  2. \sqrt{3} appartient à \mathbb{Q}.
  3. \frac{363}{33} appartient à \mathbb{N}.
  4. \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{44}} appartient à \mathbb{Q}.
  5. (1-\sqrt{3})\times(1+\sqrt{3}) appartient à \mathbb{Z}.
    Vous pourrez utiliser une identité remarquable
  6. \frac{1}{(1-\sqrt{3})\times(1+\sqrt{3})} appartient à \mathbb{Q}.
  7. 0,999999999999.... appartient à \mathbb{N} et \mathbb{Q}.

Les aides pour cet exercice : fractions, racines carrées

  1. \frac{1}{7} est une fraction irréductible, ce n’est donc pas un entier : la phrase est fausse.
  2. \sqrt{3} est la racine d’un nombre qui n’est pas le carré d’un entier : c’est donc un réel et pas un rationnel : la phrase est fausse.
  3. \frac{363}{33} = \frac{11\times33}{33}=11 est un entier : la phrase est vraie.
  4. \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{44}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4\times11}} = \frac{\sqrt{11}}{2\times\sqrt{11}} = \frac{1}{2} est un rationnel : la phrase est vraie.
  5. (1-\sqrt{3})\times(1+\sqrt{3}) = 1²-\sqrt{3}²=1-3=-2 est un entier relatif : la phrase est vraie.
  6. En utilisant la question précédente : \frac{1}{(1-\sqrt{3})\times(1+\sqrt{3})} = \frac{1}{-2} est un rationnel : la phrase est vraie.
  7. Comme vu en cours 0,999999999999.... = 1 donc est un entier, et donc aussi un rationnel : la phrase est vraie.


auteur de cet article : M.Limouzineau Jonathan

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