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Droites et système d’équations

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Equations de droites

Droites et système d’équations

Exercice de base

Exercice : Différentes méthodes de résolutions d’un système. 1. a. Dans un repère orthonormé, tracer les droites suivantes :

$d_1 \;:\;3x - 2y = 4$ et $d_2 :\;y = - x + 3$

Indication

Vous pourrez écrire l’équation de la droite $d_1$ sous la forme $y = ax+b$ avant de la tracer.

b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $d_1$ et de $d_2$

2. a. Ecrivez le système qui permet de trouver par le calcul les coordonnées de ce point.

b. Résoudre ce système.

Correction

1.a.

$d_1 \;:\;3x - 2y = 4\;\; \Leftrightarrow \; - 2y = - 3x + 4\;\; \Leftrightarrow \;\;y = \frac{3}{2}x - 2$

$d_2 :\;y = - x + 3$ (en rouge)

${\text{I}}\left( {2\;;\;1} \right)$

2.a. Le point I est le point d’intersection des droites $d_1$ et $d_2$ si ses coordonnées vérifient le système d’équation : $\left\{ \begin{array}{11} 3x-2y = 4\\ y = -x+3 \end{array}\right.$

b. Il y a plusieurs façons de résoudre ce système. Nous allons, ici, le résoudre par substitution :

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 3x - 2y = 4 \hfill \\ y = - x + 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 2\left( { - x + 3} \right) = 4 \hfill \\ y = - x + 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x + 2x - 6 = 4 \hfill \\ y = - x + 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5x = 6 + 4 \hfill \\ y = - x + 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5x = 10 \hfill \\ y = - x + 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = - 2 + 3 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

On retrouve bien les coordonnées déterminées graphiquement : ${\text{I}}\left( {2\;;\;1} \right)$

auteur de cet article : Katia Bourouina

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